센트 음정 단위: 주파수 차이가 아니라 비율을 재는 방법

440Hz에서 450Hz로 올라가는 것과 880Hz에서 890Hz로 올라가는 것은 모두 10Hz의 변화입니다. 그렇다면 음정 폭도 같을까요? 음악적 간격을 주파수의 비율로 측정하면 두 변화는 같지 않습니다. 센트는 이처럼 서로 다른 높이에서 생기는 음정 간격을 공통된 척도로 비교할 때 쓰는 단위입니다. 숫자를 읽기 전에 차이와 비율을 나누는 것부터 시작해 보겠습니다.

옥타브를 1200으로 정한 로그 척도

센트는 주파수 비율에 로그를 적용하는 음정 단위입니다. 아래 음의 주파수를 f1, 위 음의 주파수를 f2라고 할 때 음정은 1200×log2(f2/f1)센트로 계산합니다. log2는 밑이 2인 로그입니다. 주파수가 두 배가 되면 비율이 2이고 log2(2)=1이므로 옥타브가 1200센트가 됩니다.

같은 주파수끼리는 비율이 1이고 log2(1)=0이어서 0센트입니다. 기준보다 낮은 음을 비교할 때는 공식의 결과가 음수가 될 수 있습니다. 예를 들어 f2가 f1의 절반이라면 -1200센트입니다. 음수라는 것은 소리가 없거나 잘못되었다는 뜻이 아니라, 정한 기준에서 아래 방향으로 떨어져 있다는 표시입니다.

12평균율의 반음이 100센트인 이유

12평균율은 한 옥타브를 열두 개의 같은 주파수 비율로 나눕니다. 반음 하나의 비율은 2^(1/12)이고, 센트 공식에 넣으면 1200×1/12=100센트입니다. 여기서 같은 간격이란 매 단계에서 같은 Hz를 더한다는 뜻이 아닙니다. 매번 같은 비율을 곱한다는 뜻입니다.

• 평균율 반음 한 개는 100센트입니다.
• 평균율 온음 두 반음은 200센트입니다.
• 평균율 완전5도 일곱 반음은 700센트입니다.
• 옥타브 열두 반음은 1200센트입니다.

이 문장들의 반음과 온음은 12평균율을 전제로 합니다. 다른 음률에서 반음이라고 부르는 간격이 모두 정확히 100센트인 것은 아닙니다. 예를 들어 순정한 3:2 완전5도는 약 701.955센트입니다. 음정 이름과 센트 수치 사이에 어떤 조율 전제가 있는지 함께 밝혀야 합니다.

같은 10Hz가 왜 다른 간격일까

440Hz에서 450Hz로 올라간 비율은 450/440이고, 센트로는 약 38.906입니다. 880Hz에서 890Hz로 올라간 비율은 890/880이며 약 19.562센트입니다. 두 경우 모두 10Hz를 더했지만, 높은 쪽에서는 원래 주파수에 대한 증가 비중이 더 작습니다. 따라서 음정 간격도 더 작게 계산됩니다.

반대로 440Hz에서 445Hz로, 880Hz에서 890Hz로 움직이면 각각 5Hz와 10Hz의 변화지만 비율은 둘 다 89/88입니다. 두 변화는 약 19.562센트로 같습니다. Hz 차이를 두 배로 했다는 것과 센트 간격을 두 배로 했다는 것을 같은 말로 쓰면 안 되는 이유가 여기 있습니다.

비율의 곱을 센트의 합으로 바꾸기

로그의 성질 덕분에 이어 붙인 음정은 센트로 더할 수 있습니다. 2:1 옥타브를 두 번 쌓으면 주파수 비율은 2×2=4이고, 센트는 1200+1200=2400입니다. 순정 완전5도 3:2를 두 번 쌓으면 비율은 9:4이고, 센트는 약 701.955를 두 번 더한 약 1403.910입니다.

이 결과를 한 옥타브 안으로 옮기려면 비율에서는 2로 나누어 9:8을 얻고, 센트에서는 1200을 빼서 약 203.910센트를 얻습니다. 같은 관계를 두 방식으로 표현한 것입니다. 비율 계산에서 뺄셈을 하거나 센트 계산에서 주파수처럼 곱셈을 하는 혼동을 피하면 복잡한 비교도 정리하기 쉬워집니다.

센트에서 주파수로 되돌아가기

기준 주파수 f1에서 c센트 위의 음을 구하려면 f2=f1×2^(c/1200)을 사용합니다. 예를 들어 440Hz보다 100센트 위는 440×2^(100/1200), 약 466.164Hz입니다. 440에 100을 더한 540Hz가 아니며, 1센트가 언제나 1Hz라는 규칙도 없습니다.

마찬가지로 880Hz보다 100센트 위는 약 932.328Hz입니다. 필요한 Hz 증가는 약 52.328Hz로, 440Hz에서의 약 26.164Hz보다 두 배입니다. 그러나 음정 폭은 둘 다 같은 100센트입니다. 계산을 마친 뒤에는 주파수 단위가 Hz인지, 음정 단위가 센트인지 결과 옆에 적어 놓으면 해석 오류를 줄일 수 있습니다.

계산기에서 로그 밑을 확인하기

계산기에 log2가 없다면 log(f2/f1)/log(2)를 사용하면 됩니다. 여기의 log는 같은 밑으로 계산하면 되고, 자연로그 ln을 쓰더라도 ln(f2/f1)/ln(2)로 바꾸면 같은 결과입니다. 분자에는 상용로그를 쓰고 분모에는 자연로그를 쓰는 식으로 섞으면 안 됩니다.

실습으로 300Hz와 450Hz를 비교해 보세요. 비율은 1.5이므로 결과는 약 701.955센트입니다. 다음에는 600Hz와 900Hz를 넣습니다. 역시 같은 비율이므로 같은 값이 나와야 합니다. 두 계산의 Hz 차이는 150과 300으로 다르지만 센트는 같습니다. 결과가 달라졌다면 비율을 만들 때 나눗셈 순서나 괄호를 먼저 점검하세요.

숫자와 청취 결과를 따로 기록하기

같은 기준음에서 0센트, 10센트, 20센트 차이를 둔 소리 예제를 비교할 수 있습니다. 듣기 실습에서는 음색과 음량을 고정하고, 순서대로 들려주는지 동시에 들려주는지도 기록합니다. 동시에 들을 때의 울림 변화와 순차적으로 들을 때의 높이 비교는 관찰 조건이 다릅니다.

수학적으로 10센트 차이가 있다는 사실이 어떤 청취자에게도 언제나 명확하게 구별된다는 뜻은 아닙니다. 장비, 소리의 길이, 음역과 음색 등에 따라 들리는 양상은 달라질 수 있습니다. 미세한 숫자를 읽었다는 이유만으로 청각적 정확성이나 연주 수준을 평가하지 말고, 계산한 값과 실제로 관찰한 반응을 다른 칸에 적어 보세요.

OMU 악보에서 확인할 것과 계산할 것

OMU의 코드·연습보 목록 https://www.omuclub.com/score/chord 에서는 실제 등록된 일반 화음 연습 자료를 확인할 수 있습니다. 이 링크는 센트 단위 전용 악보가 있다는 뜻이 아닙니다. 악보상의 도수 관계를 읽는 활동과 실제 주파수 비를 센트로 환산하는 활동을 구분해서 활용하세요.