피타고라스 음률: 완전5도를 쌓을 때 생기는 비율과 콤마

피아노에서 도에서 솔, 솔에서 레로 이동하면 익숙한 음이름의 연결이 보입니다. 그런데 이 음들을 모두 정확한 3:2 비율의 완전5도로 만든다고 가정하면, 열두 번의 이동 끝에 원래 음이름으로 돌아와도 주파수까지 정확하게 맞아떨어지지는 않습니다. 피타고라스 음률은 이처럼 간단한 비율을 반복해서 음들을 구성하는 방식과 그 과정에서 남는 차이를 함께 살펴보게 합니다.

출발 규칙은 3:2 완전5도

피타고라스 음률은 3:2의 순정 완전5도를 생성 규칙으로 삼는 체계로 설명할 수 있습니다. 아래 음이 200Hz라면 그 위의 순정 완전5도는 300Hz입니다. 다시 같은 비율을 적용하면 450Hz, 그다음은 675Hz가 됩니다. 이 단계의 수치는 계속 높아지므로 음계 안에서 비교하려면 옥타브를 정리해야 합니다.

이 설명은 비율의 구조를 알아보는 모형이며, 특정 시대의 모든 실제 연주와 조율이 오차 없이 같은 방식으로 이루어졌다는 뜻은 아닙니다. 이름을 근거로 한 인물의 단독 발명이나 세계 여러 지역의 역사를 한 줄로 단정하는 것도 피해야 합니다. 먼저 이 음률의 계산 규칙이 무엇인지에 집중하는 편이 정확합니다.

옥타브 환원은 2로 나누어 위치를 옮기기

옥타브 위의 음은 주파수가 두 배이므로, 어떤 음을 한 옥타브 아래로 옮기려면 주파수를 2로 나눕니다. 기준음 대비 비율을 1 이상 2 미만의 범위로 정리하면 같은 옥타브 안에서 비교할 수 있습니다. 이것을 옥타브 환원이라고 설명할 수 있습니다. 비율을 빼는 계산이 아니라 2의 거듭제곱으로 나누거나 곱하는 계산입니다.

• 기준 C의 비율을 1로 둡니다.
• 첫 완전5도 G는 3/2입니다.
• 둘째 완전5도 D는 9/4이고, 2로 나누면 9/8입니다.
• 셋째 완전5도 A는 27/8이고, 2로 나누면 27/16입니다.
• 넷째 완전5도 E는 81/16이고, 4로 나누면 81/64입니다.

여기서 음이름은 생성 관계를 설명하기 위한 표지입니다. 평균율 건반에 표시된 같은 이름을 누르는 것과 계산한 비율을 실제로 얻는 것은 같은 일이 아닙니다. 피아노가 어떤 음률로 조율되었는지를 별도로 고려해야 합니다.

장3도 81:64와 5:4는 다르다

완전5도를 네 번 쌓아 옥타브 안으로 옮겨 얻은 C-E는 81:64입니다. 소수로 약 1.265625이며, 센트로는 약 407.820센트입니다. 반면 5한계 순정률에서 대표적으로 사용하는 장3도는 5:4, 즉 1.25이고 약 386.314센트입니다. 12평균율의 장3도 400센트는 이 두 수치 사이에 있습니다.

두 장3도의 차이를 비교하면 (81/64)/(5/4)=81/80입니다. 이 비율은 신토닉 콤마로, 약 21.506센트입니다. 피타고라스 음률도 간단한 정수비를 사용한다고 해서 그 장3도가 5:4라고 말하면 안 됩니다. 넓게는 3한계 순정률로 분류할 수 있지만, 흔히 입문서에서 대비하는 5한계 순정률과는 허용하는 소인수와 음정 구성이 다릅니다.

열두 완전5도와 일곱 옥타브 비교

3:2 완전5도를 열두 번 누적한 비율은 (3/2)^12입니다. 일곱 옥타브의 비율은 2^7입니다. 두 값을 나누면 (3/2)^12 / 2^7 = 3^12/2^19 = 531441/524288이 됩니다. 이 값은 1보다 조금 크므로 열두 순정 완전5도의 총폭이 일곱 옥타브보다 조금 넓습니다.

이 차이가 피타고라스 콤마이며 약 23.460센트입니다. 앞에서 장3도를 비교해 얻은 신토닉 콤마 81/80과는 다른 비율입니다. 둘 다 작은 차이를 가리키므로 이름을 섞기 쉽지만, 어떤 경로를 비교했는지 적어 두면 구별할 수 있습니다. 피타고라스 콤마는 열두 5도와 일곱 옥타브, 신토닉 콤마는 앞의 두 장3도 비교로 기억해 보세요.

원으로 그렸다고 정확히 닫히는 것은 아니다

음이름을 5도권의 원으로 그리면 마지막 점이 처음 점에 맞닿아 보입니다. 그러나 3:2 비율을 그대로 유지하는 계산에서는 출발점과 끝점이 콤마만큼 어긋납니다. 그림의 원이 닫혔다는 사실이 모든 5도의 비율까지 정확하게 닫힌다는 증거는 아닙니다. 음이름의 순환과 주파수 비율의 순환을 나누어야 합니다.

고정된 열두 음을 쓰면서 옥타브를 유지하려면 이 불일치를 어떤 방식으로든 처리해야 합니다. 순정 5도를 그대로 열두 개 모두 넣는 것과 닫힌 옥타브 체계를 동시에 만족시킬 수는 없습니다. 12평균율에서는 각 완전5도를 700센트로 정하므로 12×700=8400센트가 7×1200과 일치합니다. 순정 완전5도의 약 701.955센트와는 조금씩 차이가 나는 셈입니다.

계산기로 하는 두 경로 판별

실제 조율 조작 대신 계산기만으로 실습합니다. 기준 비율 1에서 출발해 1.5를 네 번 곱하고, 결과를 4로 나눠 보세요. 81/64가 나옵니다. 다른 칸에는 1.25를 적습니다. 두 값을 나눈 1.0125가 81/80과 같은지 확인하면, 같은 장3도 이름 아래의 다른 생성법을 직접 비교할 수 있습니다.

이번에는 1.5를 열두 번 곱한 값과 2를 일곱 번 곱한 값을 별도로 구합니다. 두 결과를 나눈 값은 약 1.013643입니다. 이 숫자를 반올림해서 1이라고 처리하면 바로 설명하려던 차이를 지우게 됩니다. 작은 차이가 주제인 계산에서는 소수점 자릿수를 충분히 유지한 뒤 마지막에 반올림해야 합니다.

듣기 자료에서는 무엇을 비교할까

음률별 비교 음원을 찾았다면 먼저 같은 기준음, 같은 음색, 같은 길이로 제작된 자료인지 확인하세요. 음색이나 음량이 크게 다르면 음률 차이 이외의 요소가 판단에 섞일 수 있습니다. 장3도 비교에서는 81:64와 5:4 중 어느 비율을 썼는지 표시가 있는 자료가 좋습니다. 이름만 다른 음원으로는 계산과 청취를 연결하기 어렵습니다.

주파수 비가 가까운 음정을 듣고 반드시 누구나 즉시 차이를 구분할 수 있다는 보장은 없습니다. 어떤 예가 더 높게 들렸는지, 두 음을 함께 들었을 때 어떤 변화를 관찰했는지 구체적으로 적으세요. 피타고라스 음률은 거칠고 순정률은 아름답다는 식의 고정된 평가 대신, 음정과 음색과 음악적 문맥을 분리해 기록하는 것이 이번 실습의 목적입니다.

OMU에서 확인할 피아노 악보 목록

https://www.omuclub.com/score/piano 는 실제 피아노 악보가 등록된 OMU의 목록 페이지입니다. 음이름과 화음 표기를 확인하는 별도 자료로 둘러볼 수 있지만, 피타고라스 음률 전용 악보나 조율 자료의 등록을 보장하는 링크는 아닙니다. 일반 악보 표기와 주파수 비율 실험을 구분해 활용하세요.